相关性（Correlation） 指的是两个或多个变量之间随同变化的关系，是数据分析和机器学习中常用的概念。了解不同变量（或特征）之间的相关程度及其方向，对于特征选择、模型构建、多重共线性检测等具有重要意义。下面将从概念、度量方式、使用场景、注意事项等方面进行介绍。
1. 相关性的基本概念
线性相关性
最常见是指线性依赖关系：如果一个变量增大时，另一个变量也倾向增大（或减小），则我们说它们之间存在正（或负）相关。线性相关最常用的度量就是皮尔森相关系数（Pearson Correlation Coefficient）。 非线性相关性
有些变量之间可能存在非线性的依赖关系（如曲线、分段）。此时仅用 Pearson 相关系数无法完全捕捉，需要考虑斯皮尔曼相关系数（Spearman）、**肯德尔相关系数（Kendall）**或其它更通用的统计方法。 相关 != 因果
重要原则：“相关不代表因果”。即便两个变量高度相关，也不一定说明二者存在因果关系，可能存在第三个隐变量的影响或时间先后顺序等多种因素。
2. 常见的相关性度量方法
2.1 皮尔森相关系数（Pearson’s r）
定义：衡量两个连续变量间的线性关系强度和方向，取值范围
[
−
1
,
+
1
]
[-1, +1]
[−1,+1]。
若
r
>
0
r > 0
r>0，表示正相关；
r
<
0
r < 0
r<0，表示负相关；
∣
r
∣
|r|
∣r∣ 越接近 1，相关性越强。若
r
=
0
r = 0
r=0，表示线性无关；但不代表无任何关系，可能存在非线性关联。 适用条件：
变量为连续型并近似服从正态分布；两个变量的关系大致呈线性。 公式：
r
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
ˉ
)
(
y
i
−
y
ˉ
)
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
y
ˉ
)
2
r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}
r=∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2
∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ) 其中
x
ˉ
\bar{x}
xˉ 和
y
ˉ
\bar{y}
yˉ 分别是 x、y 的样本均值。
2.2 斯皮尔曼秩相关系数（Spearman’s
ρ
\rho
ρ）
定义：基于变量的“秩”（Rank）来衡量关联，主要适用于非线性关系或有序变量。
对原始样本排序（赋予秩），然后计算在秩空间的皮尔森相关。 优点：
对异常值或非线性更加鲁棒；可以处理等级（ordinal）变量。 取值范围：同样是
[
−
1
,
+
1
]
[-1, +1]
[−1,+1]。
2.3 肯德尔秩相关系数（Kendall’s
τ
\tau
τ）
定义：也是基于排名的相关系数，但计算方式与斯皮尔曼不同，更关注样本对在秩上的一致性/不一致性。优点：
对小样本更稳定；对重复秩处理较好。
2.4 距离相关（Distance Correlation）等高级方法
距离相关：考虑到可能存在更一般的非线性关系，通过所有样本点间的距离矩阵来定义相关度，更全面。当数据分布复杂或关系高度非线性时，可以考虑此类方法。
3. 使用场景
特征选择
在机器学习前期，可能会对高相关的特征进行筛选或去冗余。如若两个特征相关系数过高（如
∣
r
∣
>
0.9
|r|>0.9
∣r∣>0.9），可保留对目标更有效的那个特征，以减少多重共线性。 多重共线性检测
在线性模型（如线性回归、Logistic 回归）中，如果变量之间高度相关，会影响回归系数的稳定性和解释性。可通过相关矩阵查看特征间相关程度。 探索性数据分析
在数据可视化或初步分析阶段，可计算特征与目标间的相关系数，直观判断哪些特征可能与目标有较强（线性）关系。 实验/研究验证
如果想证明两个变量的关系，可以用相关系数及其统计检验（p-value）来做初步判断。
4. 相关分析的注意事项
线性 vs. 非线性
Pearson 仅能捕捉线性趋势；若两个变量呈 U 型、指数型等非线性关系，Pearson 可能显示低相关，但实际上二者关系紧密。这时需考虑 Spearman、Kendall 或其他方法。 相关不代表因果
即便相关系数达到 0.9 以上，也不能简单地说“X 导致 Y”。需要有理论、实验、时间先后顺序等佐证因果关系。 离群点（outlier）
Pearson 对异常值敏感； Spearman、Kendall 更稳健一些。遇到离群值较多的场景，要先评估或清洗异常值，或采用秩相关系数。 数据规模
相关系数在小样本下不稳定；也可使用置信区间或 p-value 来评估统计显著性。若样本过大，统计显著性很容易通过；此时更要看实际相关系数数值的大小（效果量）。 类别型/有序型变量
类别变量若无序，仅能做列联表 + 卡方检验等；若有序（Ordinal），可用 Spearman/Kendall。
5. 代码示例（Python）
假设我们有两个数组 x、y，并想计算 Pearson、Spearman、Kendall 相关系数：
import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr, spearmanr, kendalltau
# 生成示例数据
np.random.seed(42)
x = np.random.randn(100)
y = x * 0.5 + np.random.randn(100)*0.2 # 人为构造线性关系
pearson_corr, pearson_p = pearsonr(x, y)
spearman_corr, spearman_p = spearmanr(x, y)
kendall_corr, kendall_p = kendalltau(x, y)
print(f"Pearson correlation: {pearson_corr:.3f}, p-value={pearson_p:.3e}")
print(f"Spearman correlation: {spearman_corr:.3f}, p-value={spearman_p:.3e}")
print(f"Kendall correlation: {kendall_corr:.3f}, p-value={kendall_p:.3e}")
运行后会得到类似结果（随数据而变）：
Pearson correlation: 0.900, p-value=1.23e-30
Spearman correlation: 0.867, p-value=2.45e-27
Kendall correlation: 0.754, p-value=1.10e-24
说明 x、y 明显呈正相关且在统计上非常显著。
6. 小结
相关性（Correlation） 描述变量间的随同变化关系，常用 Pearson（线性）、Spearman（基于秩） 和 Kendall（秩一致性）等系数加以量化，取值范围都在
[
−
1
,
+
1
]
[-1, +1]
[−1,+1]。相关不代表因果，相关分析只是初步探查变量间联系的工具。实际分析中要考虑非线性、离群值、样本大小、变量类型等因素，合理选择相关系数计算方法。在机器学习和数据分析中，相关性广泛应用于特征选择、多重共线性检测、探索性分析等方面，帮助我们理解数据内部结构和优化模型。
Wellent 偉倫
娇娇师娘（与爱同行）